【推荐】CFA教材辅导详解一元回归模型的方差ANOVA分析Ri基金

summer 2025年03月03日 09:51 0

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方差分析（ANOVA）是一种统计过程，用于将变量的总变化分解为可归因于不同来源的部分变化。在回归分析中，我们使用方差分析来确定一个或多个自变量在解释因变量变化中的作用。在方差分析中进行的重要统计检验方法是F检验。F统计量检验线性回归中的所有斜率系数是否都等于0。在具有一个自变量的回归中，便是对原假设H0：b1= 0（备择假设Ha：b1≠0）的检验。

为了正确确定斜率系数等于0的原假设的检验统计量，我们需要知道以下内容：

■观察总数（n）；

■要估计的参数总数（在一个独立变量回归中，该数目为2：截距和斜率系数）；

■残差的平方和，简称SSE。

■回归的平方和，简称RSS。该值是回归方程式中Y的总变化量。如下所示：

总变化（TSS）是SSE和RSS的总和。

用于确定斜率系数是否都等于0的F检验基于这四个值构造的F统计量。F统计量解释回归方程解释因变量的变化的程度。F统计量是平均RSS与平均SSE的比值。通过将回归的平方和除以估计斜率参数的数量（一元回归该数值为1）来计算平均RSS。平均SSE是通过将误差平方和除以观察数n减去估计参数的总数（一元回归该数值为2：截距和斜率）来计算。这两个因子是F检验的自由度。如果有n个观测值，则将斜率系数等于0的原假设的F检验表示为F(#斜率系数),(n–#系数)=F1,n-2，该检验具有1和n-2个自由度。

例如，假设回归模型中的自变量没有解释因变量的任何变化。然后，回归模型的预测值^Yi是因变量Y的平均值ˉY。在这种情况下，回归平方和（RSS）为0。因此，F统计量为0。如果自变量解释因变量的变化很小，则F统计量的值将很小。

一元回归的F统计量计算公式为

如果回归模型很好地解释了因变量的变化，则F统计量应该很高。这是因为平均到每个自由度上，可解释性强的RSS相对于不可解释的变化要大得多。一些关键值的F统计量可以查表获得。

通常，共同基金的业绩是根据基金是否具有正的alpha值（即经过风险调整后的超额正回报）来评估的。一种常用的风险调整方法是基于资本资产定价模型：

（Ri– RF）=αi+βi（RM– RF）+εi

其中RF是无风险收益率，RM是市场收益率，Ri是共同基金的收益率，βi是基金的beta。如果αi=0，则基金风险调整后的超额收益为零。如果αi=0，则对公司（Ri-RF）=βi（RM-RF）+εi调整后得到E（Ri）=RF +βi（RM-RF），这意味着βi可以完全解释该基金的超额收益。如果αi>0，则该基金的收益将高于βi带来的期望。

总而言之，要检验基金是否具有正的alpha值，我们必须对原假设：基金没有风险调整后的超额收益（H0:α = 0），相关备择假设：基金有风险调整后的超额收益(Ha:α ≠ 0)进行检验。

案例 Dreyfus基金的绩效评估

下表给出了2013年1月至2017年12月Dreyfus基金的超额回报。此回归的估计^βi为0.9306。说明Dreyfus基金的风险要比整个市场低。